APLICA EXPRESIONES MATEMÁTICAS EN LA RESOLUCIÓN DE
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DONDE SE PRECISE EL CÁLCULO DE DIMENSIONES DE CUERPOS
GEOMÉTRICOS PRESENTES EN EL ENTORNO.
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CUERPO GEOMÉTRICOS
REDONDOS Y NO REDONDOS: CONCEPTOS, ELEMENTOS, CONSTRUCCIÓN.
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Cuerpos redondos: Son la
esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al
menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan
cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira
alrededor de un eje.
El cilindro tiene siempre
dos bases. La distancia de una base a la otra, medida sobre una recta que ha de
ser perpendicular a las bases, se llama altura.
El cono tiene una base
circular y una punta que se llama vértice. La distancia desde el vértice,
medida sobre una recta perpendicular a la base se llama altura. La distancia
que hay desde el vértice a un punto cualquiera de la circunferencia de la base
se llama lado del cono.
La esfera tiene un punto
llamado centro que está a la misma distancia de todos los puntos de la
superficie. La esfera también tiene radio y diámetro.
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Cuerpos no redondos: Los
poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas
figuras geométricas exclusivamente planas. Entre los más conocidos se
encuentran los siguientes: Sólidos platónicos, Pirámide, Prisma
Sus elementos más comunes son: caras, aristas, vértices.
Se construyen uniendo las vértices y aristas con líneas rectas, formando de esa
forma las caras.-
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ÁREA LATERAL Y ÁREA TOTAL
DE CUERPOS GEOMÉTRICOS: PRISMAS, CILINDRO, PIRÁMIDES, CONO, ESFERA.
El
área es la medida de una región interior, entonces, para obtener el área de
cualquier poliedro deberemos calcular la medida de todas sus caras.
Una
forma práctica para obtener áreas es calcular su área basal, su área lateral, y
luego la suma de ambos, nos dará el área total.
Área total = área basal + área lateral
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PRISMAS
1º Cálculo del área basal: el polígono de la base es un rectángulo de 12 cm
de largo y 5 cm de ancho. Para calcular el área de este polígono aplicaremos la
fórmula b x h, donde b es la base y h es la altura. Como es un rectángulo, b
será el largo y h el ancho.
b x h = área basal
12 x 5 = 60 cm2
2º Cálculo del área lateral: nuestro prisma tiene 4 caras laterales que también
son rectángulos. Hay 2 rectángulos que miden 12 cm de largo y 10 cm de ancho.
Aplicamos la fórmula para su área y obtenemos:
Área lateral 1 = 12 x 10 x
2
Área lateral 1 = 240 cm2
Hay otros dos rectángulos
que miden 10 cm de largo y 5 de ancho, entonces su área corresponde a:
Área lateral 2 = 10 x 5 x
2
Área lateral 2 = 100 cm2
Para obtener el área
lateral completa, sumamos ambas:
240 + 100 = 340 cm2
Determinaremos el
resultado final. Así:
Área total = área basal +
área lateral
Área total = 60 cm2 + 340
cm2
Área total = 400 cm2
.
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PIRÁMIDES.
En el caso de las
pirámides, también aplicamos:
Área total = área basal +
área lateral
La diferencia está en que
las caras laterales de una pirámide son siempre triángulos.
Veamos el siguiente caso:
Calcularemos el área total
de una pirámide de base cuadrangular, que tiene su arista basal de 4 cm y su
apotema lateral mide 7 cm.
1º Obtenemos el área basal: corresponde al área del cuadrado de 4 cm por lado.
Área basal = 4 x 4
Área basal = 16 cm2
2º Calculamos el área lateral: se necesita el área de los 4 triángulos. Todos son
congruentes, entonces su área será :
Área lateral = 56 cm2
Área total = Área basal +
Área lateral
Área total = 16 cm2 + 56
cm2
Área total = 72 cm2
·
CONO.
El área lateral del cono
es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por el lado o
generatriz, dividido por 2.
Área
lateral del cono = ( 2 x p x r ) x lado / 2.
El área total es la suma del área lateral más
el área del círculo de la base.
Área
total del cono = área lateral + área de la base.
a.lateral= pi por el radio de la base y por la generatriz
a.total=al área lateral mas el área del circulo de la base
·
ESFERA.
Es
igual cuatro por pi por su radio al cuadrado
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VOLUMEN Y CAPACIDAD DE
CUERPOS GEOMÉTRICOS: CUBO, PRISMAS, CILINDRO, PIRÁMIDES, CONO, ESFERA.
El volumen es la cantidad de espacio
que ocupa un cuerpo y capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente. En
general se llama capacidad de un recipiente a su volumen.
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CUBO:
El volumen de un cubo se calcula con la fórmula: V = a3
Ejemplo: Cuantificar el volumen de un cubo que mide
2.5 cm por lado.
Fórmula: V = a x a x a Sustitución: V = 2.5
x 2.5 x 2.5
Solución: V = 2.5 x 2.5 x 2.5
V = 6.25 x 2.5
V = 15.625
Resultado: 15.625 m3
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PRISMAS:
El volumen de un prisma se encuentra con la fórmula:
V = B ´ h
Ejemplo: Calcular el volumen del siguiente prisma
cuadrangular. La base es igual a 3 m2 y la altura de 6 m.
Fórmula: V = B x h Sustitución: V = (3 x 3)
6
Solución: V = 9 x 6
Resultado: 54 m3
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CILINDRO:
El
volumen que cabe en un cilindro es igual a el área de su base (área de un
círculo) por la altura (h).
Área de la base = área de un círculo = πr2, (r x r = r2)
Altura del cilindro = h
V =
r2 x h
V =
x r x r x h
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PIRÁMIDES:
El
volumen de estos cuerpos se obtiene multiplicando el área de su base por la
tercera parte de su altura (1/3 h ó 0.333 h).
·
CONO:
El
volumen de un cono equivale a la tercera parte del volumen del cilindro, cuya
base y altura son iguales a las del cono.
Por lo tanto:
·
ESFERA:
El volumen de una esfera es 2/3 del
volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo
diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:
Donde V
es el volumen de la esfera y r el radio.
Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes.
Es posible calcular el volumen de una esfera con un
margen de error aproximado al 0.03% sin utilizar el valor de π:
