CONJUNTO DE NÚMEROS
ENTEROS: FORMACIÓN, CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES.
INTRODUCCIÓN
Por medio de este trabajo de
investigación que estaremos realizando, veremos qué son los números enteros.
Específicamente
hablaremos sobre el conjunto de números enteros, su formación, las
características y sus aplicaciones.
Esperamos que este trabajo de
investigación sea del beneficio de todos los compañeros.
CONJUNTO DE NÚMEROS
ENTEROS
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero.
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Se dividen en tres
partes: enteros positivos o números naturales,
enteros negativos y cero.
Dado
que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números
naturales son un subconjunto de los números
enteros.
Valor absoluto de un número
entero
El valor absoluto de un número
entero es el número natural que resulta al suprimir
su signo.
|−a| = a
|a| = a
Criterios para ordenar los números enteros
1. Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero.
7 > 0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene
menor valor absoluto.
−7 >− 10
|−7|
< |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene
mayor valor absoluto.
10 >
7 |10|
> |7|
Operaciones con números enteros
* Suma de números enteros
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los
valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = − 8
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos
(al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número
de mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = − 2
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
a + b
3 +
(−5)
2. Asociativa:
(a + b) + c = a +
(b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3
+ (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5
* Resta de números enteros
La diferencia de los números
enteros se obtiene
sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (-b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
* Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números
enteros es otro número
entero, que tiene como valor absoluto el producto de los
valores absolutos y,
como signo, el que se
obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3
· (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3
+ (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 =
(−2) · (3 + 5)
* División de números enteros
La
división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los
valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene
de la aplicación de la regla de los signos.
10
: 5 = 2
(−10)
: (−5) = 2
10
: (−5) = − 2
(−10)
: 5 = − 2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2)
: 6
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 :
(−2) ≠ (−2) : 6
* Potencia de números enteros
La potencia
de exponente natural de un número entero es otro número
entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la
potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación
de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre
positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo
signo de la base.
Propiedades
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5
- 2 = (−2)3 = −8
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
an · b n = (a · b) n
(−2)3 ·
(3)3 = (−6) 3 = −216
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
* Raíz cuadrada de un número entero
Las
raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.
El
radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.
* Operaciones combinadas con números enteros
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones
entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias
y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
EJERCICIOS
* Realizar las
siguientes operaciones con números enteros:
(3 − 8) + [5 − (−2)] =
5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
9 : [6 : (− 2)] =
[(−2)5 − (−3)3]2 =
(5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =
[(17 − 15)3 +
(7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =
* Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
(7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=
−12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
* Calcula, si existe:
(−9)2 =
(−1)7 =
(−3)2 · (−3) =
(−3)3 =
* Realizar las
siguientes operaciones con potencias de números enteros:
(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =
(−8) · (−2)2 ·
(−2)0 (−2) =
(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 =
2−2 · 2−3 · 24 =
22 : 23 =
2-2 : 23 =
22 : 2-3 =
2-2 : 2-3 =
[(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =
[(−2)6 :
(−2)3 ]3 · (−2) · (−2)−4 =
CONCLUSIÓN
Gracias a este trabajo de investigación que hemos
llevado a cabo, pudimos aprender qué son los números enteros.
Hemos
desarrollado el tema del conjunto de números enteros, su formación, las
características y sus aplicaciones. A través de una serie de ejemplos y
ejercicios pudimos entender su aplicación práctica y así comprendimos cómo
funcionan las operaciones y propiedades aritméticas en cuanto a los números
enteros.