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CONJUNTO NUMEROS ENTEROS





CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS: FORMACIÓN, CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES.




INTRODUCCIÓN

            Por medio de este trabajo de investigación que estaremos realizando, veremos qué son los números enteros.

            Específicamente hablaremos sobre el conjunto de números enteros, su formación, las características y sus aplicaciones.

            Esperamos que este trabajo de investigación sea del beneficio de todos los compañeros.

 CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.






Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
|−a| = a
|a| = a


Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero.
7 > 0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
−7 >− 10             |−7| < |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
10 > 7             |10| > |7|




Operaciones con números enteros


* Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = − 8
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = − 2


Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:
a + b   
3 + (−5)   
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5




* Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (-b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:
a − b   
10 − (−5)   
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5




* Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos







2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10


Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:
a · b   
2 · (−5)   
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)



* División de números enteros

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2

 

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:
(−2) : 6 
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
 

* Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8




Potencias de exponente entero negativo








* Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.






El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.






* Operaciones combinadas con números enteros

Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.





 EJERCICIOS

* Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
 (3 − 8) + [5 − (−2)] =
 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
 9 : [6 : (− 2)] =
 [(−2)5 − (−3)3]2 =
 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =
 [(17 − 15)3 + (7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =


* Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
(7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=
 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =


* Calcula, si existe:
(−9)2 =
(−1)7 =
(−3)2 · (−3) =
 
(−3)3 =
 


* Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:
 (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =
 (−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) =
(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 =
 2−2 · 2−3 · 24 =
 22 : 23 =
 2-2 : 23 =
 22 : 2-3 =
 2-2 : 2-3 =
 [(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =
[(−2)6 : (−2)3 ]3 · (−2) · (−2)−4 =







CONCLUSIÓN

            Gracias a  este trabajo de investigación que hemos llevado a cabo, pudimos aprender qué son los números enteros.

            Hemos desarrollado el tema del conjunto de números enteros, su formación, las características y sus aplicaciones. A través de una serie de ejemplos y ejercicios pudimos entender su aplicación práctica y así comprendimos cómo funcionan las operaciones y propiedades aritméticas en cuanto a los números enteros.






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